STRUKTUR ALJABAR (SEMIGROUP, MONOID, GROUP)

Sistem aljabar satu operasi (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

1. SEMIGROUP
Sistem aljabar (S,*) merupakan semigroup, jika :
1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2. Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5 :
(Z,+) merupakan sebuah semigroup

Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6 :
(Z,+) merupakan sebuah semigroup abelian.

2. MONOID
Sistem aljabar (S, *) merupakan monoid, jika
1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2. Operasi * bersifat asosiatif.
3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *.

Contoh 1.7.
(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan . 

Jika operasi biner pada monoid (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,*) disebut juga monoid abelian.

Contoh 1.8.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abelian.

3. GROUP
Sistem aljabar (S, *) merupakan monoid, jika
1. Himpunan S tertutup di bawah operasi *
2. Operasi * bersifat asosiatif.
3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *.
4. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi * dan invers tersebut merupakan anggota S juga.

Contoh 1.9.
(Z,+) merupakan sebuah group.

Jika operasi biner pada group (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka group (S,*) disebut juga group abelian.

Contoh 1.10.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abelian.